Reklama
Nepřihlášený uživatel | Zaregistrovat se
 

Téma:

Věda a technika, mládeži

Spravují:

arnost,
snop

Může vás zajímat



Reklama



pojmy a tak naleznete docela dobre vysvetlene a definovane zde (Wikipedia)
Nebo z jineho zdroje zde (Math Thesaurus)

pripadne se zkuste pohrabat v nejvetsi encyklopedii matematiky: http://mathworld.wolfram.com/


(To už nevim, tyhle topologický věci znam jen z rychlíku, furt si hraju jen se svejma parciálkama a jinejma lokálníma problémama. Ale někdy se to snad doučim :-)
r0b0t ~ matika šmatika ~  braidd drwg
Jasný. Přijde mi to přes ty generující funkce didaktičtější:
1. Procvičí si zacházení s nekonečnejma řadama.
2. Rozklad na parciální zlomky se využije u integrace.
3. Generující funkce jsou samy o sobě mega užitečný v kombinatorice. (A ostatně třeba na Chernovo třídy se dá koukat podobně, žejo?)
Tak mě ještě napadlo, že výraz

F_n - 3*F_{n-1} + 3*F_{n-2} - F_{n-3}

vlastně "vysekne" z tý posloupnosti kubickej růst/pokles, analogicky i v jinejch řádech. (A teda i růst/pokles ještě vyššího řádu, ale ten se od kubickýho na 4 bodech nedá rozlišit.) Což jinejma slovama vysvětluje, že když to má bejt nula, tak řešením jsou nejvýše kvadratický polynomy.

Ale k čemu by to mohlo bejt taky dobrý? Různý mocniny x se různě derivujou a integrujou, takže se hodí je umět vyseparovat z obecný funkce. Takhle by se možná dalo dojít k Runge-Kuttově metodě pro numerickou integraci.
Wolfii White bracelet  in ward #7F ⚢
Ale je fakt, že na obfuskaci by to bylo výborný :)
Wolfii White bracelet  in ward #7F ⚢
print(list(map(lambda x: x**2, list(range(1, 201)))))
- Napište program, který vypíše čtverce čísel 1 až 200.
- Hold my beer:
def F (l): [a, b, c] = l while True: [a, b, c] = [b, c, a - 3*b + 3*c] yield c l = [1, 4, 9] n = 200 - 3 from itertools import islice print (l + list (islice (F (l), 0, n)))
:-)
Ale zpět k jednoduchejm příkladum :-) Na tý rekurenci pro polynomy _nejvýš_ pátýho stupně (a analogickejch pro jiný stupně) se mi líbí, že "sama zjistí" jakej stupeň polynomu to je. Takže:

0) Když začnu 1,1,1,1,1,1, tak bude pokračovat 1,1,1,1,...
1) Když začnu 1,2,3,4,5,6, tak bude pokračovat 7,8,9,10,..
2) Když začnu 1,4,9,16,25,36, tak bude pokračovat 49,64,81,100,...
3) Když začnu 1,8,27,64,125,216, tak bude pokračovat 343,512,729,1000,...

atd. až do pátýho stupně, vejš už tahle konkrétní nebude fungovat. Ona to neni žádná věda, prostě to proloží polynom, ale stejně je to pěkný :-)
Taky to jde řešit maticí, stejně jako u těch dif. rovnic. Jen se to převede na vektorovej tvar, prostě si budu pamatovat ve vektoru posledních k členů, jako když to programuju, a dostanu

V_{n+1} = A . V_n

kde A má v prvním řádku (-a_1/a_0, ..., -a_k/a_0) a pod diagonálou jedničky. Pak už stačí jen spočíst A^n, tj. Jordanův tvar etc. Zcela nepřekvapivě má ta matice stejnej charakteristickej polynom jako při tom uhodnutí, tj. obráceně než Q(x). On je to zároveň i její minimální polynom, tj. ke každýmu vlastnímu číslu je jedna největší možná Jordanova buňka, z toho pak leze ta polynomiální část u vícenásobnejch kořenů.
Jasně, že daly. Jen je otázka, co je větší trik, jestli uhodnout exponencielu nebo vyrobit vytvořující funkci. Nakonec to vyjde nastejno a s tim uhodnutim je to přímočařejší a jednodušší.

A máš pravdu, ten polynom tam vlastně vyjde jinej, ale je to skoro on. Jen má koeficienty v opačnym pořadí, což odpovídá těm převrácenejm hodnotam, tj. substituci q = 1/x. (V tom článku ty převrácený hodnoty vlastně taky jsou.) Konkrétně pro rekurenci

a_0 F_n + a_1 F_{n-1} + ... + a_k F_{n-k} = 0; n >= k, a_0 nenulový

Je ta vytvořující funkce daná jako P(x)/Q(x), kde:

Q(x) = \sum_{i=0}^k a_i x^i
P(x) = \sum_{i=0}^{k-1} b_i x^i, b_i = \sum_{j=0}^i a_j F_{i-j}

Prostě tu vytvořující funkci vynásobíš Q(x) a díky tý rekurenci se vymlátí všechno od x^k vejš. Teď už jen rozložit na parciální zlomky a rozvinout ;-)
r0b0t ~ matika šmatika ~  braidd drwg
Zimous: Dík! Nebejt tebe, tak bych na to neklik. Nedaly by se ty diferenční rovnice řešit místo uhodnutím právě přes ty generující funkce? Jen teda teď takhle od oběda nevidím, jaký polynom vyjde ve jmenovateli. Řešení pak dostaneš jako lineární kombinaci mocnin převrácených kořenů jmenovatele, takže to obecně nebude stejný polynom jako ten zadaný rekurencí.
Pokud soudíte, že jsem za příklad zvolil zbytečně vysokej stupeň, tak vězte, že rekurenci F_{n+1} = F_n řešej právě všechny konstantní posloupnosti tj. polynomy nultýho stupně :-D
V případě násobnýho kořenu tam pak kromě geometrický posloupnosti (exponenciální funkce) vycházej i součiny s polynomama. Např. rekurenci

F_{n+1} = 6 F_n - 15 F_{n-1} + 20 F_{n-2} - 15 F_{n-3} + 6 F_{n-4} - F_{n-5}

řešej právě všechny polynomy stupně nejvýš pět. Charakteristickej polynom je tu totiž (q-1)^6 a obecný řešení tudíž je:

F_n = (an^5 + bn^4 + cn^3 + dn^2 + en + f) 1^n

(To 1^n samozřejmě můžu vyhodit.)
Pěkný, na začátku řiká to samý, tj. že to vede na aritmeticko-geometrickou řadu a že 999 chybí kvůli přetečení. A pak to pěkně rozvíjí, ta vytvořující funkce pro Fibonacciho posloupnost je fakt pěkná :-) Nakonec to dotáhne až k modulárním formám, to už ani já moc neznam, to už chce bejt specialista na tyhle věci.

Mimochodem ten explicitní vzorec pro Fibonacciho posloupnost se dá odvodit i bez těhle úvah. Stačí a priori předpokládat (tipnout), že to bude geometrická posloupnost. To je známá finta, používá se taky u lineárních dif. rovnic s konstantníma koeficientama, vede na tzv. charakteristickej polynom. Pokud to tedy má bejt geometrická posloupnost s kvocientem q, tj. tvaru aq^n, tak máme:

F_{n+1} = F_n + F_{n-1}
aq^{n+1} = aq^n + aq^{n-1}
q^2 = q + 1
q^2 - q - 1 = 0

A to už je právě ten polynom, kterýho kořenem je zlatej řez (a jeho mínus převrácená hodnota) a kterej vystupuje v příslušný vytvořující funkci. Funguje to pro všechny takovýhle lineární rekurence resp. lineární dif. rovnice s konstantníma koeficientama. Akorát se to trochu komplikuje, pokud má ten výslednej polynom násobnej kořen...
Tady je takový hezký článeček k těm 1/998001 = 0,000001002003... nebo třeba
1/9899 = 0,0001010203050813213455...

https://www.onethirteenth.net/2021/07/on-infinite-decimal-expansions-missing.html
To s tim vynechánim je stejnej případ jako u mě, kde je pro změnu v čitateli vynechaná 8. Představte si, že to dál pokračuje, tj. dál je 10 resp. 1000, ta jednička přeteče nahoru k 9 resp. 999, to zase přeteče k 8 resp. 998. Takhle to právě vede na nekonečnou aritmeticko-geometrickou řadu
Pro konkrétní případy vlastně můžeš postupovat sofistikovanějš. Třeba když cifry tvořej aritmetickou posloupnost, tak můžeš pro čitatele použít vzorec na součet aritmeticko-geometrický řady. Za druhý, přímočaře dostáváš jmenovatele tvaru 99...9, tj. 10^k-1, což můžeš rozložit podle vzorce. A pak se může povíst, že to půjde *obecně* zkrátit. Třeba když je k sudý, tak a^2-1 = (a+1)(a-1), tj. 9999...99 = 100...01 x 99...9, to se přesně děje v tom mym příkladu.
Jakejpak sofisrikovanej přístup, normální převod periodockýho desetinnýho místa na zlomek. A abyste neřekli, že je se mnou nuda, tak tady máte: 123456790/1000000001 :-)
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Áno, jsem si vědom, že by byl potřeba trochu sofistikovanější přístup. (Tedy teoreticky by se dal vyrobit obří zlomek, vykrátit a doufat, že nahoře zbude jednička, ale asi by to nebylo moc efektivní)
No akosi tady má perioda 2997 míst (ano, 998 to vynechalo)
von_Zeppelin Vyhubit lidstvo  pclib php framework
Vždyť to na konci vynechalo 998. Reklamoval bych.

Jinak hádám, že se podobné věci dají konstruovat nějakými triky založenými na součtu aritmetické řady, ne?
Třeba když chci 123 periodicky, tak dám 123/999.
Lejzy God is REAL unless declared   INTEGER.
To tak nekdy proste je, no. Pamatuju hezke hratky s cislem 142857. At to vynasobis cim chces, ta cisla tam furt jsou, i kdyz treba rozlozena do dvou cislic. 142857*23 = 3285711,tj. ta ctyrka je rozlozena do jednicky a trojky. "Kupodivu" to nefunguje pri nasobeni nasobky 7.
to je hezký!!!

zkusil jsem 1/9801 a funguje to taky :) (dvojice)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F9801 (more digits)
Lodovico Mas syndrom stoleti? Je mi to jedno! 
A tohle vymeslel kdo? (sleduj trojice)